Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình log 2(mx)=log căn2(x+1) vô nghiệm?

Phương pháp giải: - Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đưa về cùng cơ số 2.

- Giải phương trình logarit: ${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)>0$.

- Cô lập $m$, đưa phương trình về dạng $m=f\left(x\right)$.

- Lập BBT của hàm số $f\left(x\right)$, từ BBT tìm điều kiện của $m$ để phương trình vô nghiệm.

Giải chi tiết: ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}mx>0\\ x+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}mx>0\\ x>-1\end{array}\right.$

Ta có:

${\log }_2\left(mx\right)={\log }_{\sqrt{2}}\left(x+1\right)$

$\iff {\log }_2\left(mx\right)=2{\log }_2\left(x+1\right)$

$\iff {\log }_2\left(mx\right)={\log }_2{\left(x+1\right)}^2$

$\iff mx={\left(x+1\right)}^2\left(*\right)$

Do $x>-1\iff x+1>0\iff {\left(x+1\right)}^2>0$$\Rightarrow mx\ne 0\iff x\ne 0$

Do đó $\left(*\right)\iff m=\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x}=f\left(x\right)$ với $x>-\mathrm{1,}x\ne 0$.

Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2\left(x+1\right).x-{\left(x+1\right)}^2}{x^2}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương (*) vô nghiệm $\iff 0\le m<4$.

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{0;1;2;3\right\}$.

Vậy có 4 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.