Hà và Trang mỗi bạn nghĩ về một số nguyên dương và thì thầm số đó vào tai của Thu

Phương pháp giải:

- Giả sử số Hà nghĩ là a $\Rightarrow$ Số Trang nghĩ là b = a – 2013 hoặc b = a + 2013.

- Chứng minh $a>2013, b>2013$ .

- Dựa vào các dữ kiện chặn khoảng giá trị của a, từ đó suy ra được a và b.

Giải chi tiết:

Giả sử số Hà nghĩ là a $\Rightarrow$ Số Trang nghĩ là $b=a-2013$ hoặc $b=a+2013$.

Do dựa vào giả thiết trên Hà và Trang đều chưa đoán được số của bạn còn lại nên $a-2013>0\Rightarrow a>2013$.

CMTT ta cũng có $b>2013$.

Theo giả thiết “Nếu cả hai đã nghĩ về một số lớn hơn số ban đầu 1 đơn vị thì cậu không thể đoán được số của Trang là bao nhiêu” ta có:

Số của Hà nghĩ sau khi tăng đi 1 đơn vị là $a+1$.

Khi đó số Trang nghĩ là $b=a+1-2013=a-2012$ hoặc $b=a+1+2013=a+2014$.

Vì b > 2013 và trong trường hợp này Hà không đoán được số của Trang nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a-2012>2013\\ a+2014>2013\end{array}\iff a>4025 \left(1\right)\right.$

Giả sử A là số bé nhất Hà nghĩ mà khi đó, Hà không đoán được số của Trang. Khi đó số của A giảm đi 1 đơn vị thì Hà sẽ đoán được số của Trang.

Số của Trang lúc số A giảm đi 1 đơn vị là $b=A-1-2013=A-2014$ hoặc $b=A-1+2013=A+2012$.

Vì $b>2013$ và trong trường hợp này Hà đoán được số của Trang nên ta có:

$$\begin{gathered} A-2024<2013\Rightarrow A<4027\Rightarrow A\le 4026 \\ \Rightarrow a\le 4026 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4025<a\le 2016\Rightarrow a=4026$.

Khi đó b = 6039.

Vậy Hà đã nghĩ đến số 4026 và Trang đã nghĩ đến số 6039 hoặc ngược lại.