Cho các số a;b > 0 thỏa mãn log2a = log6b = log2 (a+b) . Giá trị

Chọn B

Phương pháp giải:

- Đặt ${\log }_{3}a={\log }_{6}b={\log }_2\left(a+b\right)=t$, rút a; b theo t.

- Rút ra phương trình ẩn t, sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình mũ.

- Tìm a; b và tính $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ .

Giải chi tiết:

Đặt ${\log }_{3}a={\log }_{6}b={\log }_2\left(a+b\right)=t$ , khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=3^t\\ b=6^t\\ a+b=2^t\end{array}\right.\Rightarrow 3^t+6^t=2^t$ .

Chia cả 2 vế cho $2^t$ ta có: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^t+3^t=1\left(1\right)$ .

Xét hàm số $f\left(t\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^t+3^t$ ta có: $f^{\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^t\ln \frac{3}{2}+3^t\ln 3>0\forall t$ nên hàm số đồng biến trên R.

Mà $f\left(-1\right)=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$, do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất $t=-1$.

$\Rightarrow a=3^{-1}=\frac{1}{3},b=6^{-1}=\frac{1}{6}$.

Vậy $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=9+36=45$ .