Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và SA=SB=SC=a

* Hướng dẫn giải

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số diện tích, tỉ số thể tích để tính thể tích khối tứ diện MBSI thông qua thể tích khối tứ diện vuông SABC.

Giải chi tiết:

Do $SA=SB=SC=a$ nên các tam giác $SAB,SBC,SCA\Rightarrow SA,SB,SC$ vuông tại S.

 đôi một vuông góc.

Thể tích khối tứ diện vuông S.ABC là: $V=\frac{1}{6}.SA.SB.SC=\frac{a^3}{6}$

Gọi J là giao điểm của MN và AP, I là giao điểm của SJ và AD. Khi đó, $I=AD\cap \left(SMN\right)$ (do $SI\subset \left(SMN\right)$ )

$\Delta ASD$ có: P là trung điểm của SD, J là trung điểm của AP.

Xét tam giác vuông SBC có $SP=\frac{1}{2}BC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow AP=\sqrt{S{A}^2+S{P}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow SJ=\frac{1}{2}AP=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Ta có: $SD=2SP=a\sqrt{2}\Rightarrow AD=a\sqrt{3}\Rightarrow \cos \angle SDA=\frac{SD}{AD}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác APD ta có:

 $\frac{JA}{JP}.\frac{SP}{SD}.\frac{ID}{IA}=1\iff 1.\frac{1}{2}.\frac{ID}{IA}=1\iff \frac{ID}{IA}=2\iff ID=\frac{2}{3}AD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác  ta có:

$$\begin{gathered} S{I}^2=S{D}^2+D{I}^2-2SD.DI.\cos \angle SDA \\ =2a^2+\frac{4}{3}{a}^2-2.a\sqrt{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2a^2}{3} \end{gathered}$$

Dễ dàng chứng minh được:

$SJ=\frac{3}{4}SI\Rightarrow S_{\Delta SJB}=\frac{3}{4}{S}_{\Delta SIB}\Rightarrow V_{M.SJB}=\frac{3}{4}{V}_{M.SIB}$ hay $\Rightarrow V_{M.SIB}=\frac{4}{3}{V}_{M.SJB}$

Lại có: $S_{\Delta MJB}=\frac{1}{2}{S}_{\Delta AJB}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S}_{\Delta APB}=\frac{1}{8}{S}_{\Delta ABC}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V_{M.SJB}=\frac{1}{8}{V}_{S.ABC} \\ \Rightarrow V_{M.SIB}=\frac{4}{3}.\frac{1}{8}{V}_{S.ABC}=\frac{1}{6}{V}_{S.ABC}=\frac{1}{6}.\frac{1}{6}{a}^3=\frac{1}{36}{a}^3 \end{gathered}$$