Cho các số thực a; b thỏa mãn điều kiện a

Chọn A

Phương pháp giải:

Chứng minh $\frac{4\left(3b-1\right)}{9}\le b^2$

Biến đổi và đặt $t={\log }_{a}b$, đưa về hàm số $f\left(t\right)$  và tìm GTLN của hàm số đó.

Giải chi tiết:

$$\begin{gathered} {\left(3b-2\right)}^2\ge 0\iff 9b^2-12b+4\ge 0\iff 4\left(3b-1\right)\le 9b^2\iff \frac{4\left(3b-1\right)}{9}\le b^2 \\ \Rightarrow {\log }_a\frac{4\left(3b-1\right)}{9}\le {\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b \\ 8{\log }_{\frac{b}{a}}^{2}a=\frac{8}{{\log }_a^2\frac{b}{a}}=\frac{8}{{\left({\log }_{a}b-1\right)}^2} \end{gathered}$$

Đặt $t={\log }_{a}b$ ta có $P\le 2t+\frac{8}{{\left(t-1\right)}^2}-1=f\left(t\right)$

TXĐ: $D=R\backslash \left\{1\right\}$

Ta có: $f^{\text{'}}\left(t\right)=2-\frac{16}{{\left(t-1\right)}^3}=0\iff {\left(t-1\right)}^3=8\iff t=3$

$f\left(3\right)=2.3+\frac{8}{2^2}-1=7\Rightarrow f\left(t\right)\le 7\Rightarrow P\le 7$