Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-2;3) và đường

Phương pháp giải:

(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và d có nghiệm kép.

Giải chi tiết:

Phương trình mặt cầu (S) có dạng ${(x-1)}^2+{(y+2)}^2+{(z-3)}^2=R^2.$

Phương trình tham số của d là: d: $d:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2+t\\ z=-3-t\end{array}\right.$

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}{(x-1)}^2+{(y+2)}^2+{(z-3)}^2=R^2\\ x=-1+2t\\ y=2+t\\ z=-3-t\end{array}\right.$  (*)

(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi  (*) có nghiệm kép.

$\iff {(-2+2t)}^2+{(4+t)}^2+{(-6-t)}^2=R^2$ có nghiệm kép.

$\iff 6t^2+12t+56-R^2=0$ có nghiệm kép.

$\iff {\Delta }^{\text{'}}={\left(-6\right)}^2-6.\left(56-R^2\right)=0\iff 6R^2-300=0\iff R^2=50\iff R=5\sqrt{2}.$

Vậy đường kính của mặt cầu (S) là $10\sqrt{2}$ .