Cho f x là đa thức thỏa mãn tính lim x -2

Đáp án

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp tính giới hạn vô định $\frac{\infty }{\infty }$ với biểu thức chứa căn ta làm mất nhân tử của tử và mẫu bằng cách nhân liên hợp, tạo hằng đẳng thức.

Giải chi tiết:

Đặt $P=P\left(x\right)=\sqrt{\left(3\right)}6f\left(x\right)+5\Rightarrow P-5=\frac{P^3-5^3}{P^2+5P+25}=\frac{6f\left(x\right)+5-5^3}{P^2+5P+25}=\frac{6\left(f\left(x\right)-20\right)}{P^2+5P+25}.$.

Vì $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}=10$ nên $f\left(2\right)-20=0\Rightarrow f\left(2\right)=20\Rightarrow P=5$

Khi đó

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{\left(3\right)}6f\left(x\right)+5-5}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{6\left(f\left(x\right)-20\right)}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(P^2+5P+25\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}.\frac{6}{\left(x+3\right)\left(P^2+5P+25\right)}\right).$