tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x^3-6x^2 +3(m+2)x-m-6=0

Phương pháp giải: - Cô lập m, đưa phương trình về dạng $m=f\left(x\right)$ (*).

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=m$.

- Khảo sát, lập BBT hàm số $f\left(x\right)$ và kết luận.

Giải chi tiết: Ta có:

$\begin{array}{l}{x}^3-6x^2+3\left(m+2\right)x-m-6=0\\ \iff x^3-6x^2+3mx+6x-m-6=0\\ \iff x^3-6x^2+6x-6=m\left(1-3x\right)\end{array}$

TH1: $1-3x=0\iff x=\frac{1}{3}$, khi đó phương trình trở thành $-\frac{125}{27}=0.m$ (vô nghiệm).

TH2: $1-3x\ne 0\iff x\ne \frac{1}{3}$, khi đó phương trình trở thành $m=\frac{x^3-6x^2+6x-6}{1-3x}=f\left(x\right)$ (*).

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=m$.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{\left(3x^2-12x+6\right)\left(1-3x\right)+3\left(x^3-6x^2+6x-6\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-6x^3+21x^2-12x-12}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ x=2\end{array}\right.$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m=-\frac{17}{4}$.