cho i=

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt $\text{t}=\text{u}\left(\text{x}\right)$, đổi cận $\left\{\begin{array}{l}\text{x}=\text{a}\Rightarrow \text{t}=\text{u}\left(\text{a}\right)={\text{a}}^{\text{'}}\\ \text{x}=\text{b}\Rightarrow \text{t}=\text{u}\left(\text{b}\right)={\text{b}}^{\text{'}}\end{array}\right.$.

- Bước 2: Tính vi phân dt $=u^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $\text{f}\left(\text{x}\right)\text{dx}$ thành $\text{g}\left(\text{t}\right)\text{dt}$.

- Bước 4: Tính tích phân ${\int }_a^b\text{f}\left(\text{x}\right)\text{dx}={\int }_{\text{a}}^{{\text{b}}^{\text{'}}}\text{g}\left(\text{t}\right)\text{dt}$.

Giải chi tiết:

Đặt $t=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow t^2=1+3\ln x$.

$\Rightarrow 2\text{tdt}=\frac{3\text{dx}}{\text{x}}\Rightarrow \frac{\text{dx}}{\text{x}}=\frac{2}{3}\text{tdt}$

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=1\\ x=e\Rightarrow t=2\end{array}\right.$

Khi đó ta có:

$I={\int }_1^e\frac{\sqrt{1+3\ln x}}{x}dx={\int }_1^e\sqrt{1+3\ln x}.\frac{dx}{x}$

$I={\int }_1^2\text{ t. }\frac{2}{3}tdt=\frac{2}{3}{\int }_1^2{t}^{2}dt={\left.\frac{2}{3}\cdot \frac{t^3}{3}\right|}_1^2={\left.\frac{2}{9}{t}^3\right|}_1^2$

    $=\frac{2}{9}(8-1)=\frac{14}{9}$

Do đó các đáp án B, D đúng.

Lại có ${\left.\left(\frac{2}{9}{\text{t}}^3+2\right)\right|}_1^2=\left(\frac{2}{9}\cdot 8+2\right)-\left(\frac{2}{9}\cdot 1+2\right)=\frac{14}{9}=\text{I}$ nên đáp án C đúng.

Vậy A sai.

Chọn A.

Chú ý khi giải:

Một số em tính được $I=\frac{2}{3}{\int }_1^2{t}^{2}dt={\left.\frac{2}{3}\frac{t^3}{3}\right|}_1^2={\left.\frac{2}{9}{t}^3\right|}_1^2$ thì kết luận ngay đáp án C sai là không đúng vì ${\left.\frac{2}{9}{\text{t}}^3\right|}_1^2={\left.\left(\frac{2}{9}{\text{t}}^3+2\right)\right|}_1^2$.