Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a>1, b>1 thỏa mãn

 Đáp án C

Phương pháp giải: Giải chi tiết: Đặt ${\log }_{9}a={\log }_{12}b={\log }_{16}\frac{5b-a}{c}=t$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=9^t\\ b={12}^t\\ \frac{5b-a}{c}={16}^t\end{array}\right.$ 

(Vì $a>1\Rightarrow 9^t>1\iff t>0$).

Khi đó ta có:

Đặt $x={\left(\frac{4}{3}\right)}^t$. Vì $t>0\Rightarrow x>1$.

Khi đó phương trình (*) trở thành: $c{x}^2-5x+1=0\left(2*\right)$

⇒ Để tồn tại hai số thực $a>1;b>1$ thì phương trình (2*) có nghiệm lớn hơn $x>1$.

Ta có:$\Delta =25-4c$ .

TH1: $\Delta =0\iff c=\frac{25}{4}$, khi đó phương trình (2*) có nghiệm kép $x=\frac{5}{2c}$.

$\Rightarrow x>1\iff \frac{5}{2c}=\frac{2}{5}<1$ (loại).

TH2: $\Delta >0\iff c<\frac{25}{4}$, khi đó phương trình (2*) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{5}{c}\\ x_1{x}_2=\frac{1}{c}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1\le 1\\ x_2\le 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2\le 2\\ \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\ge 0\end{array}\right.$

Để (2*) có 2 nghiệm $\left\{\begin{array}{l}{x}_1\le 1\\ x_2\le 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2\le 2\\ \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2\le 2\\ x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{5}{c}\le 2\\ \frac{1}{c}-\frac{5}{c}+1\ge 0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}c\ge \frac{5}{2}\\ \frac{4}{c}\le 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c\ge \frac{5}{2}\\ c\ge 4\end{array}\right.\iff c\ge 4$

Do đó để phương trình (2*) có nghiệm $x>1$ thì $c<4$.

Kết hợp điều kiện $c<\frac{25}{4}\Rightarrow c<4$.

Mà c là số nguyên dương nên $c<\frac{25}{4}\Rightarrow c<4$.

Vậy có tất cả 3 giá trị của c thỏa mãn yêu cầu bài toán.