Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình m≥fx2+1+x2−4x có nghiệm trên đoạn [-1;4] là

* Hướng dẫn giải

Điều kiện để bất phương trình $m\ge f\left(\frac{x}{2}+1\right)+x^2-4x$ có nghiệm trên đoạn [-1;4] là $m\ge \underset{\left[-1;4\right]}{Min}g\left(x\right)$

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(\frac{x}{2}+1\right)+x^2-4x$ với $x\in \left[-1;4\right]$

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}f\text{'}\left(\frac{x}{2}+1\right)+2(x-2).$Đặt $t=\left(\frac{x}{2}+1\right)$

Ta thấy $x\in (2;4)\Rightarrow t\in \left(2;3\right)\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)>0\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}f\text{'}\left(\frac{x}{2}+1\right)+2\left(x-2\right)>0$

Với $x\in \left(-1;4\right)\Rightarrow t\in \left(\frac{1}{2};2\right)\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)<0\Rightarrow g\text{'}\left(t\right)<0$

Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau