Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước

Đặt R = x, điều kiện x > 0

$V=\pi x^{2}h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi x^2}\Rightarrow \frac{h}{R}=\frac{V}{\pi x^3}$.

$S_{TP}=2\pi R\left(h+R\right)=2\pi x\left(\frac{V}{\pi x^2}+x\right)=\frac{2V}{x}+2\pi x^2.$

Xét hàm số: $f\left(x\right)=\frac{2V}{x}+2\pi x^2$ với x > 0

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=-\frac{2V}{x^2}+4\pi x=\frac{4\pi x^3-2V}{x^2}.$

Khi đó: $f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$

Ta có BBT:

Từ BBT trên ta thấy $S_{TP}$ nhỏ nhất khi $x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$

Khi đó: $\frac{H}{R}=\frac{V}{\pi \frac{V}{2\pi }}=2\iff h=2R.$

Chọn C.