Tổng các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 100 của bất phương trình (logarit cơ số 2 của x + logarit cơ số 1/4 của ( x + 3))^(x - 4) lớn hơn hoặc bằng 1 bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Điều kiện $x>0$

$\begin{array}{l}BPT\iff \left(x-4\right){\log }_2\left[{\log }_{2}x-{\log }_2\sqrt{x+3}\right]\ge {\log }_{2}1\\ \iff \left(x-4\right){\log }_2\left({\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\right)\ge 0\left(*\right)\end{array}$

·       Nếu $x=4$  thì (*) được nghiệm đúng nên $x=4$  là 1 nghiệm của bất phương trình

·       Nếu $x>4$  thì (*) $\iff \left\{\begin{array}{l}x>4\\ {\log }_2{\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>4\\ {\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>4\\ \frac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 2\end{array}\right.\iff x\ge 6$

·       Nếu $x<4$  thì (*) $\iff \left\{\begin{array}{l}x<4\\ {\log }_2\left({\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\right)\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x<4\\ 0<{\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\le 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x<4\\ 1<\frac{x}{\sqrt{x+3}}\le 2\end{array}\right.\iff \frac{1+\sqrt{13}}{2}<x\le 4$.