Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}\) là

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} = 1.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}} \right)\\ = \left( {x + y} \right).\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}} \right)\\ = 1 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} + 4 = 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x}\end{array}\)

Vì \(x,\,\,y\) là hai số thực dương nên \(\dfrac{{4x}}{y},\,\,\dfrac{y}{x}\)dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\dfrac{{4x}}{y}\) và \(\dfrac{y}{x}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2.\sqrt {\dfrac{{4x}}{y}.\dfrac{y}{x}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 4\\ \Leftrightarrow 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 9\\ \Leftrightarrow S \ge 9\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{y} = \dfrac{y}{x}\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} = {y^2}\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = y\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(\min S = 9\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3};\,y = \dfrac{2}{3}\).

Chọn B.