Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + m\sin 2\alpha \), \(\left| m \right|...

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}P = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = \left( {{{\sin }^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha } \right) + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = {\sin ^4}\alpha  - {\sin ^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^2} - 3{\sin ^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P =  - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha  + 1\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha  + 1 - P = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi :

 \(\begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4.\left( { - \dfrac{3}{4}} \right).\left( {1 - P} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3 - 3P \ge 0\\ \Leftrightarrow P \le \dfrac{{{m^2} + 3}}{3}\end{array}\)

Chọn C.