Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 1;\,\,6} \right),\,\,B\left( {0;\,\,2} \right),\,\,C\left( {1;\,\,5} \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường cao \(AH\) và \(BK\), kh...

* Hướng dẫn giải

\(A\left( { - 1;\,\,6} \right),\,\,B\left( {0;\,\,2} \right),\,\,C\left( {1;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {1;\,\,3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Vì \(AH \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là VTPT của đường thẳng \(AH\) suy ra \({\vec n_{AH}} = \overrightarrow {BC}  = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Vì \(BK \bot AC\) nên \(\overrightarrow {AC} \) là VTPT của đường thẳng \(BK\) suy ra \({\vec n_{BK}} = \overrightarrow {AC}  = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \cos \left( {{{\vec n}_{AH}},\,\,{{\vec n}_{BK}}} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AH}}.{{\vec n}_{BK}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AH}}} \right|.\left| {{{\vec n}_{BK}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {1.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\)\( = \dfrac{1}{{\sqrt {50} }} = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }}\)

Chọn D.