Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,3x - y - 1 = 0\) và \({d_2}:\,\,x + y - 2 = 0\). Đường tròn có tâm \(I\left( { - a;\,\,b} \right),\,\,a...

* Hướng dẫn giải

Vì \(I\left( { - a;\,\,b} \right),\,\,a > 0\) thuộc đường thẳng \({d_1}\) nên \(I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right)\).

Khoảng cách từ \(I\left( { - a;\,\,3a - 1} \right)\) đến đường thẳng \({d_2}:\,\,x + y - 2 = 0\) là:

\(d\left( {I,\,\,{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| { - a - 3a - 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| { - 4a - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)

\(I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right),\,\,A\left( {2;\,\, - 1} \right)\)\( \Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( {2 + a} \right)}^2} + 9{a^2}} \)

Vì đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) nên \(IA = d\left( {I,\,\,{d_2}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2 + a} \right)}^2} + 9{a^2}}  = \dfrac{{\left| { - 4a - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {2 + a} \right)^2} + 9{a^2} = \dfrac{{16{a^2} + 24a + 9}}{2}\\ \Leftrightarrow 4 + 4a + {a^2} + 9{a^2} = \dfrac{{16{a^2} + 24a + 9}}{2}\\ \Leftrightarrow 8 + 8a + 20{a^2} = 16{a^2} + 24a + 9\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16a - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{4 + \sqrt {17} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\a = \dfrac{{4 - \sqrt {17} }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a = \dfrac{{4 + \sqrt {17} }}{2} \in \left( {4;\,\,5} \right)\end{array}\)

Chọn B.