Cho tam giác ABC có góc A=900​, AB=20cm; AC=15cm; BC=25cm. Đường cao AH =12 cm (H thuộc BC). Tính diện tích tứ giác IOHB.

* Hướng dẫn giải

Có CI là đường phân giác góc ACB 

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{3}{5} \Rightarrow AI = \frac{3}{5}BI\)

(tính chất đường phân giác)

Mặt khác

\( AI + BI = AB = 20 \Rightarrow \frac{3}{5}BI + BI = 20 \Rightarrow BI = \frac{{25}}{2}{\mkern 1mu} cm \Rightarrow AI = \frac{{15}}{2}{\mkern 1mu} cm\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHC vuông tại H có:

\( H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81 \Rightarrow HC = 9{\mkern 1mu} cm\)

Có

\( HC.AI = AC.HO{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cmt} \right) \Rightarrow HO = \frac{{HC.AI}}{{AC}} = \frac{{9.15}}{{15.2}} = \frac{9}{2}{\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\)

Diện tích tứ giác

\(\begin{array}{l} {S_{IOHB}} = {S_{{\rm{\Delta }}ABC}} - {S_{{\rm{\Delta }}HOC}} - {S_{{\rm{\Delta }}ACI}}\\ \Rightarrow {S_{IOHB}} = 150 - \frac{{HO.HC}}{2} - \frac{{AC.AI}}{2} = 150 - \frac{{9.9}}{{2.2}} - \frac{{15.15}}{{2.2}} = \frac{{147}}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^2}) \end{array}\)