Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm. Độ dài của vec tơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BG} \) là

* Hướng dẫn giải

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GB \bot AC\) và \(GB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vẽ hình bình hành \(BGCD\). Khi đó \(\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {DC} \)\( \Rightarrow CD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BG} } \right| = AD\)

Vì \(GB \bot AC\) nên \(AC \bot CD\). Suy ra \(AD = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BG} } \right| = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).