a) Có: d hay AI là đường trung trực của BC (gt) nên:

⇒ I là trung điểm của BC

    AI⊥BC tại I

    Có: AI⊥BC tại I (cmt) nên:

⇒ $\widehat{AIB}$ = $\widehat{AIC}$ = $90^o$

    Xét ΔAIB và ΔAIC, có:

              BI = IC (I là trung điểm của BC)

              $\widehat{AIB}$ = $\widehat{AIC}$ = $90^o$ (cmt)

              Cạnh AI chung

⇒ ΔAIB = ΔAIC (c.g.c)

⇒ $\widehat{ABI}$ = $\widehat{ACI}$ (Cặp góc tương ứng) hay $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$

b) Có: $\widehat{BCA}$ + $\widehat{ACM}$ = $180^o$ (Tính chất 2 góc kề bù)

          $\widehat{ABC}$ + $\widehat{KBC}$ = $180^o$ (Tính chất 2 góc kề bù)

          Mà $\widehat{BCA}$ = $\widehat{ABC}$ (cma)

⇒ $\widehat{ACM}$ = $\widehat{KBC}$

     Có: BK = AB (gt)

           Mà AB = AC (ΔAIB = ΔAIC - cma)

⇒ BK = AC

    Xét ΔACM và ΔKBC, có:

              AC = KB (cmt)

              $\widehat{ACM}$ = $\widehat{KBC}$ (cmt)

              CM = BC (gt)

⇒ ΔACM = ΔKBC (c.g.c)

⇒ AM = KC (Cặp cạnh tương ứng)

c) Có: ΔACM = ΔKBC (cmb) nên:

⇒ $\widehat{CMA}$ = $\widehat{BCK}$ (Cặp góc tương ứng) hay $\widehat{IMA}$ = $\widehat{PCI}$

    Có: $\widehat{PIC}$ = $\widehat{BIA}$ = $90^o$ (2 góc đối đỉnh)

    Xét ΔIAM, có:

          $\widehat{MAI}$ + $\widehat{IMA}$ + $\widehat{AIM}$ = $180^o$ (Định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác) (1)

    Xét ΔPIC, có:

          $\widehat{IPC}$ + $\widehat{PCI}$ + $\widehat{PIC}$ = $180^o$ (Định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác) (2)

     Mà $\widehat{IMA}$ = $\widehat{PCI}$ (cmt) (3)

          $\widehat{AIM}$ = $\widehat{PIC}$ = $90^o$ (4)

    Từ (1)(2)(3)(4) ⇒ $\widehat{MAI}$ = $\widehat{IPC}$ hay $\widehat{MAI}$ = $\widehat{APC}$

Chúc bạn học tốt