Ta có

$$V_{S.ABCD} = V_{S.AOB} + V_{S.BOC} + V_{S.COD} + V_{S.DOA}$$

$$= \dfrac{1}{3} d(S, (AOB)) . S_{AOB} + \dfrac{1}{3} d(S, (BOC)) . S_{BOC} + \dfrac{1}{3} d(S, (COD)). S_{COD} + \dfrac{1}{3} d(S, (DOA)) . S_{DOA}$$

$$= \dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)) . S_{AOB} + \dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)) . S_{BOC} + \dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)). S_{COD} + \dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)) . S_{DOA}$$

$$= \dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)) .(S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA})$$

Do O là tâm của hình vuông ABCD nên ta có

$$S_{AOB} = S_{BOC} = S_{COD} = S_{DOA}$$

Vậy ta có

$$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)) . 4 S_{AOB}$$

$$= 4. \dfrac{1}{3} d(S, (ABCD)) . S_{AOB}$$

$$ = 4 V_{S.AOB}$$

Vậy $V_{S.ABCD} = 4.2a^3 = 8a^3$.

Khối chóp $S.ABCD$ và $S.AOB$ chung chiều cao hạ từ $S$.

$O$ là tâm hình vuông $ABCD$

$\Rightarrow S_{AOB}=OA.OB=\dfrac{1}{2}OA.\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{1}{4}OA.OB=\dfrac{1}{4}S_{ABCD}$

$\Rightarrow \dfrac{V_{S.ABCD}}{V_{S.AOB}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.d(S;(ABCD))}{\dfrac{1}{3}S_{AOB}.d(S;(ABCD))}=4$

$\to V_{S.ABCD}=4.2a^3=8a^3$