ĐK: $x \geq 1$ hoặc $x \leq -1$

Đặt $t = \log_{10} (x^2+1) \sqrt{x^2-1}$. Vậy $t \geq 0$.

Khi đó ptrinh tương đương vs

$$t^2 - mt\sqrt{2} + m + 4 = 0$$

Khi đó

$$\Delta = 2m^2 - 4(m+4) = 2(m^2 - 2m - 8)$$

Để ptrinh có 2 nghiệm thì $\Delta > 0$ hay

$$2(m^2 - 2m - 8) >0$$

Vậy $m>4$ hoặc $m

Khi đó, ta có

$$t_1 = \dfrac{m\sqrt{2} - \sqrt{2m^2 - 4m - 16}}{2}, t_2 = \dfrac{m\sqrt{2} + \sqrt{2m^2 - 4m - 16}}{2}$$

TH1: $\log_{10} (x^2+1) \sqrt{x^2-1} = t_1$

Lấy 10 mũ 2 vế ta có

$$(x^2 + 1)^{\sqrt{x^2-1}} = 10^{t_1}$$

Theo đề bài ta có

$$(1+1)^{\sqrt{1-1}} \leq (x^2 + 1)^{\sqrt{x^2-1}} \leq (3^2+1)^{\sqrt{3^2-1}}$$

$$ 1 \leq 10^{t_1} \leq 10^{2\sqrt{2}}$$

$$0 \leq t_1 \leq 2\sqrt{2}$$

$$ 0 \leq \dfrac{m\sqrt{2} - \sqrt{2m^2 - 4m - 16}}{2} \leq 2\sqrt{2}$$

$$0 \leq m - \sqrt{m^2 - 2m - 8} \leq 4$$

Giải từng vế ta có $m \geq 4$ hoặc $ m \geq 0$.

Vậy $m = 4, 5$.

TH2: $\log_{10} (x^2+1) \sqrt{x^2-1} = t_2$

Giải tương tự ta có

$$ 0 \leq \dfrac{m\sqrt{2} + \sqrt{2m^2 - 4m - 16}}{2} \leq 2\sqrt{2}$$

Vậy $m \leq -\dfrac{12}{5}$ hoặc $ m \leq -4$

Vậy $m = -4, -5$.

Ghép thêm ddkien ban đầu thì các giá trị của $m$ thỏa mãn đề bài là $m = -4, -5, 5$.