a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB ta có

$AM.AB = AH^2$

TƯơng tự, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AHC ta có

$AN.AC = AH^2$

Do đó

$AM.AB = AN.AC (= AH^2)$

b) Từ câu 1, ta suy ra

$\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$

Lại có $\widehat{BAC}$ chung. Do đó, tam giác AMN đồng dạng vs tam giác ACB với tỉ số đồng dạng là

$\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Do đó, tỉ số về mặt diện tích của 2 tam giác là

$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ACB}} = \dfrac{AM^2}{AC^2} = \dfrac{AN^2}{AC^2} = \dfrac{MN^2}{BC^2}.$

Mặt khác, lại có $\widehat{ABC} = \widehat{AHM}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$. Do đó,

$\sin\widehat{ABC} = \sin\widehat{AHM} = \dfrac{AM}{AH}$

Tương tự, ta có

$\sin\widehat{ACB} = \sin\widehat{AHN} = \dfrac{AN}{AH}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC ta có

$AH^2 = AN.AC$

Do đó

$\dfrac{1}{AC} = \dfrac{AN}{AH^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AC^2} = \dfrac{AN^2}{AH^4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AM^2}{AC^2}= \dfrac{AM^2}{AH^2} . \dfrac{AN^2}{AH^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{S_{AMN}}{S_{ACB}} = \sin^2\widehat{AHM} . \sin\widehat{AHN}$

$\Leftrightarrow \dfrac{S_{AMN}}{S_{ACB}} = \sin^2B . \sin^2C$

Vậy ta có điều phải chứng minh.