Đáp án: Câu 36: $C$

             Câu 13: $\dfrac{3\sqrt{7}a^3}{28}$

Giải thích các bước giải:

Câu 36:

Chia khối $12$ mặt đều $H$ thành $12$ hình chóp tam giác có đỉnh $M$ với đáy là mặt của $H$

Gọi $V_1,V_2,...,V_{12}$ là thể thích của $12$ hình chóp trên, $h_1,h_2,...,h_{12}$ là chiều cao tương ứng của $M$ với các mặt 

$\to V=V_1+V_2+...+V_{12}=\dfrac13(h_1+h_2+...+h_{12})S$

$\to h_1+h_2+...+h_{12}=\dfrac{3V}{S}$

$\to  C$

Câu 13:

Gọi $D$ là trung điểm $BC\to AD\perp BC$ vì $\Delta ABC$ đều

Ta có $(AA'B), (AA'C)$ cùng hợp với đáy $(ABC)$ góc $60^o$

$\to A'B=A'C$

$\to \Delta A'BC$ cân tại $A'\to A'D\perp BC$ vì $D$ là trung điểm $BC$

$\to BC\perp (A'AD)$

Kẻ $A'E\perp AD\to BC\perp A'E$

$\to A'E\perp (ABC)\to A'E\perp AC$

Kẻ $EF\perp AC$

$\to AC\perp (A'EF)\to AC\perp A'F$

$\to \widehat{A'FE}=\widehat{(A'AC), (ABC)}=60^o$

$\to \tan\widehat{A'FE}=\dfrac{A'E}{EF}$

$\to A'E=EF\tan60^o=EF\sqrt{3}$

Ta có: $\widehat{AFE}=\widehat{A'EF}=90^o,\widehat{FA'E}=\widehat{FAE}=30^o,$ chung cạnh $EF$

$\to\Delta A'EF=\Delta AFE(g.c.g)$

$\to AE=A'F=\dfrac{2A'E}{\sqrt{3}}$

Lại có $AA'=a$

$\to A'E^2+AE^2=AA'^2$

$\to A'E^2+(\dfrac{2A'E}{\sqrt{3}})^2=a^2$

$\to A'E=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

$\to V_{ABC.A'B'C'}=A'E\cdot S_{ABC}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{7}a^3}{28}$