Đáp án:

6 giá trị

Lời giải:

Xét hàm số

$y = x^8 + (m-3)x^5 - (m^2-9)x^4 + 1$

Khi đó

$y' = 8x^7 + 5(m-3)x^4 - 4(m^2-9)x^3$

$= x^3[8x^4 + 5(m-3)x - 4(m^2-9)]$

Ta thấy $x = 0$ là nghiệm bội 3, là bội lẻ của phương trình $y' = 0$, do đó $x = 0$ là một điểm cực trị của hàm số.

Ta đặt $g(x) = 8x^4 + 5(m-3)x - 4(m^2-9)$

TH1: $g(x) = 0$ có nghiệm $x = 0$ suy ra $m \pm 3$.

Với $m = 3$ thì $x = 0$ là nghiệm bội $4$ của $g(x)$, suy ra $x = 0$ là nghiệm bội $7$ của $y'$ và $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x = 0$ nên $x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m = 3$ thỏa mãn yêu cầu.

Với $m = -3$ thì ta có $g(x) = 8x^4 - 30x$

Khi đó phương trình $g(x) =0$ có nghiệm $x = 0$ hoặc $x = \sqrt[3]{\dfrac{15}{4}}$.

Nên $y'=0$ có nghiệm $x=0$ là nghiệm bậc 4 nên $x=0$ không là cực trị 

Ta có bảng biến thiên( như hình vẽ)

Ta thấy $x = 0$ không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m =-3$ không thỏa mãn.

TH2: $g(x) \neq 0$ hay $m \neq \pm 3$.

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ thì $g(0) > 0$ hay $m^2 - 9 < 0$

Suy ra $m \in (-3, 3)$.

Do đó $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Kết hợp cả hai trường hợp ta có $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Vậy có $6$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.